대단원 정리하기 · Ⅲ. 좌표평면과 그래프

CONCEPT MAP · 개념 지도

대단원 한눈에 보기

좌표평면과 그래프, 정비례와 반비례 — 두 중단원이 어떻게 연결되어 있는지 시각적으로 살펴봅니다.

CORE CONCEPTS · 핵심 개념

두 중단원의 핵심 정의

자주 잊는 정의들을 한 자리에 모았습니다.

CHAPTER 1

좌표평면과 그래프

좌표평면 : 두 수직선($x$축, $y$축)이 직각으로 교차한 평면. 두 축이 만나는 점을 원점 $O$라 한다.

순서쌍과 좌표 : 점 $P$의 $x$좌표 $a$와 $y$좌표 $b$를 순서대로 짝지어 $P(a, b)$로 나타냄. 순서가 다르면 다른 점.$(2, 3) \neq (3, 2)$

축 위의 점 : $x$축 위 → $y = 0$, $y$축 위 → $x = 0$. 원점은 둘 다 0.$(5, 0)$, $(0, -3)$, $(0, 0)$

사분면 : 좌표축으로 나뉜 네 영역. 반시계 방향으로 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ. 축 위의 점은 어느 사분면에도 속하지 않음.

그래프 : 두 변수 $x$, $y$ 사이 관계를 좌표평면 위에 점·선·곡선으로 나타낸 것. 변수가 연속이면 선/곡선으로 연결.

그래프 해석 : 모양(증가·감소·일정·꺾임)에서 두 변수의 변화 양상을 읽어내는 일. 축 이름·단위 확인이 먼저.

CHAPTER 2

정비례와 반비례

정비례 : $x$가 $n$배 → $y$도 $n$배. 식: $y = ax$ ($a \neq 0$).한 봉지 5개 사탕 — $y = 5x$

정비례 비례상수 : $a = \dfrac{y}{x}$ — 모든 행에서 일정. $x = 0$일 때 반드시 $y = 0$.

정비례 그래프 : 원점 $(0,0)$과 점 $(1, a)$를 지나는 직선. $a > 0$ → 제1·3사분면. $a < 0$ → 제2·4사분면.

반비례 : $x$가 $n$배 → $y$는 $\dfrac{1}{n}$배. 식: $y = \dfrac{a}{x}$ ($a \neq 0$, $x \neq 0$).청소 60분 일을 인원 나눠 — $y = 60/x$

반비례 비례상수 : $a = xy$ — 모든 행에서 곱이 일정. $x = 0$ 불가, $y = 0$ 불가.

반비례 그래프 : 두 분지로 나뉜 쌍곡선. 두 좌표축에 한없이 가까워지지만 닿지 않음. 원점에 대해 대칭. $a > 0$ → 제1·3사분면. $a < 0$ → 제2·4사분면.

GRAPH SHAPES · 그래프 모양

대표 그래프 모양 비교

정비례·반비례의 그래프가 비례상수 부호에 따라 어떻게 달라지는지 한 눈에.

정비례 ($a > 0$)

y = ax (a>0)

원점 통과 직선. 제1·3사분면.

정비례 ($a < 0$)

y = ax (a<0)

원점 통과 직선. 제2·4사분면.

반비례 ($a > 0$)

y = a/x (a>0)

쌍곡선. 제1·3사분면. 축에 미접촉.

반비례 ($a < 0$)

y = a/x (a<0)

쌍곡선. 제2·4사분면. 축에 미접촉.

FORMULAS · 핵심 공식

반드시 외울 여섯 공식

실제 문제에서 가장 자주 적용되는 공식들.

FORMULA 01

좌표 표기

점 $P$의 좌표 $\to$ $P(x, y)$
($x$좌표, $y$좌표) 순서

순서가 다르면 다른 점.

$(2, 3) \neq (3, 2)$

FORMULA 02

사분면 부호 패턴

Ⅰ $(+, +)$ Ⅱ $(-, +)$
Ⅲ $(-, -)$ Ⅳ $(+, -)$

반시계 방향. 축 위의 점은 사분면 X.

$(-3, 5)$ → 제2사분면

FORMULA 03

축 위의 점

$x$축 위 $\to$ $(a, 0)$
$y$축 위 $\to$ $(0, b)$

두 좌표 중 하나가 0이면 축 위. 둘 다 0이면 원점.

$O(0, 0)$ — 원점

FORMULA 04

정비례 식과 비례상수

$y = ax$ ($a \neq 0$)
$a = \dfrac{y}{x}$ — 일정

$x = 0$일 때 $y = 0$. 그래프는 원점 통과 직선.

$y = 3x$ → $(1, 3), (2, 6), \cdots$

FORMULA 05

반비례 식과 비례상수

$y = \dfrac{a}{x}$ ($a \neq 0$, $x \neq 0$)
$a = xy$ — 일정

$x = 0$ 불가, $y = 0$ 불가. 그래프는 쌍곡선.

$y = 12/x$ → $(1, 12), (2, 6), \cdots$

FORMULA 06

그래프와 비례상수의 부호

$a > 0$ → 제1·3사분면
$a < 0$ → 제2·4사분면

정비례·반비례 모두 같은 패턴. $|a|$는 가파른 정도/원점 거리 결정.

$y = -2x$, $y = -6/x$ — 둘 다 2·4사분면

COMPARE · 정비례 vs 반비례

두 관계의 나란히 보기

정비례와 반비례를 한 표로 비교해 봅시다.

항목	정비례	반비례
식	$y = ax$ ($a \neq 0$)	$y = \dfrac{a}{x}$ ($a \neq 0$, $x \neq 0$)
변화 패턴	$x$가 $n$배 → $y$도 $n$배 (함께)	$x$가 $n$배 → $y$는 $\dfrac{1}{n}$배 (반대)
비례상수	$a = y/x$ (몫 일정)	$a = xy$ (곱 일정)
$x = 0$일 때	$y = 0$ (원점)	불가능 (정의 X)
그래프 모양	원점 통과 직선	쌍곡선 (두 분지)
$a > 0$ 사분면	Ⅰ·Ⅲ	Ⅰ·Ⅲ
$a < 0$ 사분면	Ⅱ·Ⅳ	Ⅱ·Ⅳ
$\|a\|$ 의미	가파른 정도	원점에서의 거리
실생활 예	단가 × 개수, 속력 × 시간	거리 = 속·시 (한쪽 고정), 일량 = 인원·시간

COMMON MISTAKES · 자주 헷갈리는 것

시험에 잘 나오는 함정 여섯

학생들이 가장 자주 틀리는 6가지 함정.

좌표 순서 바꿔 쓰기

$(2, 3)$과 $(3, 2)$는 같다

$(2, 3) \neq (3, 2)$ — 다른 점

순서쌍의 순서는 정해져 있다 — 항상 ($x$좌표, $y$좌표). 가로와 세로 정보가 섞이면 점이 완전히 달라진다.

축 위의 점이 사분면에 속한다고 착각

$(5, 0)$은 제1사분면

$(5, 0)$은 $x$축 위 — 어느 사분면도 아님

사분면은 $x$, $y$가 모두 0이 아닐 때 정의된다. 한 좌표가 0이면 축 위의 점.

$y = ax + b$를 정비례로 봄

$y = 2x + 3$도 정비례

정비례는 $y = ax$ 꼴 ($b = 0$)

상수항 $b$가 있으면 $x = 0$일 때 $y = b \neq 0$ → 원점을 지나지 않음 → 정비례 아님.

반비례 그래프가 원점을 지난다고 함

$y = 6/x$의 그래프는 원점 통과

$x = 0$일 때 정의 X. 원점에 닿지 않음

분모가 $x$이므로 $x = 0$은 허용되지 않는다. 그래프는 두 축 모두에 한없이 가까워지지만 닿지 않음.

그래프 위로 향함 = 사람이 위로 감

"시간 — 거리" 그래프 ↗ → 사람이 위로 올라감

그래프 ↗ → "집에서의 거리"가 늘어남

그래프의 위/아래는 가로축·세로축이 무엇인지에 따라 의미가 완전히 다르다. 항상 축 이름부터 확인.

$|a|$ 비교를 부호 포함해서 함

$y = -5x$가 $y = 2x$보다 덜 가파름 (음수라서)

$|-5| = 5 > |2| = 2$ → $y = -5x$가 더 가파름

가파른 정도는 절댓값으로 비교. 부호는 방향만 결정.

QUICK REFERENCE · 빠른 참조

한 줄 체크리스트

시험 직전에 빠르게 훑어볼 수 있는 핵심 사실들.

📌 외워 두면 좋은 것들

아래 사실 12가지를 즉답할 수 있다면 단원 완성!

COORD

$P(x, y)$ — 순서 중요

ORIGIN

$O(0, 0)$ — 두 축의 만남

QUADRANT

반시계 Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ→Ⅳ

SIGN

Ⅰ(+,+) Ⅱ(-,+) Ⅲ(-,-) Ⅳ(+,-)

AXIS PT

한 좌표 = 0 → 축 위

DIRECT

$y = ax$, $a = y/x$

INVERSE

$y = a/x$, $a = xy$

DIR-GRAPH

원점 통과 직선

INV-GRAPH

쌍곡선 (축 미접촉)

a > 0

제1·3사분면 통과

a < 0

제2·4사분면 통과

|a|

정비례: 기울기 / 반비례: 거리

WHAT'S NEXT · 다음 대단원

다음은 기본 도형

수와 식을 떠나 — 이제 점·선·각·원의 세계로.

Ⅳ. 기본 도형 — Basic Geometry

지금까지 우리는 수, 식, 그리고 좌표평면 위의 점·선·곡선까지 다뤘습니다. 다음 단원에서는 도형의 본격적인 세계가 열립니다. 점·선·면이라는 가장 기본적인 요소부터 시작해, 각의 크기와 위치 관계, 평행선과 동위각·엇각, 작도까지.

그리스 수학자 유클리드의 원론(Elements)에서 2300년간 변함없이 다뤄져 온 도형의 핵심 아이디어들을 만나게 됩니다. 이번 단원에서 배운 좌표는 도형의 위치를 정확히 표현하는 도구로 다시 활용됩니다.

점 · 선 · 면

$\angle ABC$ (각의 표기)

$l \parallel m$ (평행)

맞꼭지각 · 동위각 · 엇각

📚 준비 사항: 좌표평면을 자유롭게 이해할 수 있어야 합니다. 위 정리하기로 부족함을 느꼈다면 1.1 (순서쌍과 좌표), 2.2 (정비례 그래프)를 다시 한 번 보세요.